Baik. Berikut saya susun sebagai materi pembelajaran bertahap, mulai dari intuisi sampai contoh soal.

📘 TURUNAN SETENGAH

Half-Order Derivative dalam Kalkulus Pecahan

1. Pengantar

Dalam kalkulus biasa, kita mengenal:

$$D f(x)=\frac{df}{dx}$$

sebagai turunan pertama, dan

$$D^2f(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$$

sebagai turunan kedua.

Pertanyaannya:

Apakah mungkin melakukan turunan sebanyak $\frac12$ kali?

Jawabannya ya.

Konsep ini merupakan bagian dari Fractional Calculus (Kalkulus Pecahan), yaitu kalkulus yang memungkinkan orde turunan berupa bilangan real atau bahkan kompleks:

$$D^\alpha f(x), \qquad \alpha\in\mathbb R.$$

Contohnya:

$$D^{1/2}f(x),\quad D^{3/2}f(x),\quad D^{0.7}f(x).$$

---

2. Apa arti Turunan Setengah?

Secara intuitif, turunan setengah adalah operator $D^{1/2}$ yang jika dilakukan dua kali, menghasilkan turunan pertama:

$$\boxed{ D^{1/2}\left(D^{1/2}f(x)\right) = D f(x) }$$

atau secara simbolik:

$$\boxed{ D^{1/2}D^{1/2}=D }$$

Ini mirip dengan konsep akar kuadrat.

Jika

$$(\sqrt a)^2=a,$$

maka secara analog:

$$\left(D^{1/2}\right)^2=D.$$

Namun, definisi matematisnya tidak sesederhana mengambil setengah dari hasil turunan biasa.

---

3. Definisi Riemann–Liouville

Salah satu definisi paling klasik adalah turunan pecahan Riemann–Liouville.

Untuk $n-1<\alpha<n$,

$$\boxed{ D^\alpha_{a+}f(x) = \frac{d^n}{dx^n} \left[ \frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_a^x \frac{f(t)} {(x-t)^{\alpha-n+1}} \,dt \right] }$$

Untuk turunan setengah:

$$\alpha=\frac12$$

dan $n=1$, sehingga

$$\boxed{ D^{1/2}_{a+}f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{d}{dx} \int_a^x \frac{f(t)} {\sqrt{x-t}} \,dt }$$

dengan $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.

---

4. Rumus praktis untuk fungsi pangkat

Untuk fungsi

$$f(x)=x^\beta,$$

rumus yang sangat berguna adalah:

$$\boxed{ D^\alpha x^\beta = \frac{\Gamma(\beta+1)} {\Gamma(\beta-\alpha+1)} x^{\beta-\alpha} }$$

Untuk turunan setengah:

$$\boxed{ D^{1/2}x^\beta = \frac{\Gamma(\beta+1)} {\Gamma\left(\beta+\frac12\right)} x^{\beta-\frac12} }$$

---

5. Fungsi Gamma

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

$$\boxed{ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt }$$

Untuk bilangan bulat positif:

$$\Gamma(n)=(n-1)!$$

Contoh:

$$\Gamma(1)=1$$ $$\Gamma(2)=1! =1$$ $$\Gamma(3)=2! =2$$

Salah satu nilai penting:

$$\boxed{ \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi} }$$

dan

$$\Gamma\left(\frac32\right) = \frac12\sqrt{\pi}.$$

---

6. Contoh Soal 1

Tentukan

$$D^{1/2}(x^2).$$

Gunakan:

$$D^{1/2}x^\beta = \frac{\Gamma(\beta+1)} {\Gamma(\beta+\frac12)} x^{\beta-\frac12}.$$

Dengan $\beta=2$:

$$D^{1/2}x^2 = \frac{\Gamma(3)} {\Gamma(5/2)} x^{3/2}.$$

Karena

$$\Gamma(3)=2$$

dan

$$\Gamma\left(\frac52\right) = \frac32\frac12\sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}4,$$

maka

$$D^{1/2}x^2 = \frac{2}{3\sqrt{\pi}/4}x^{3/2}.$$

Jadi:

$$\boxed{ D^{1/2}x^2 = \frac{8}{3\sqrt{\pi}}x^{3/2} }$$

---

7. Contoh Soal 2

Tentukan

$$D^{1/2}(x).$$

Gunakan $\beta=1$:

$$D^{1/2}x = \frac{\Gamma(2)} {\Gamma(3/2)} x^{1/2}.$$

Karena

$$\Gamma(2)=1$$

dan

$$\Gamma(3/2)=\frac{\sqrt{\pi}}2,$$

maka

$$\boxed{ D^{1/2}x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{x} }$$

---

8. Contoh Soal 3

Tentukan

$$D^{1/2}(1).$$

Ambil

$$\beta=0.$$

Maka:

$$D^{1/2}(1) = \frac{\Gamma(1)} {\Gamma(1/2)} x^{-1/2}.$$

Sehingga:

$$\boxed{ D^{1/2}(1) = \frac{1}{\sqrt{\pi x}} }$$

Perhatikan bahwa:

$$D(1)=0$$

tetapi

$$D^{1/2}(1)\neq0.$$

Ini salah satu perbedaan menarik antara turunan biasa dan turunan pecahan.

---

9. Contoh Soal 4

Tentukan:

$$D^{1/2}(x^3).$$

Gunakan:

$$D^{1/2}x^3 = \frac{\Gamma(4)} {\Gamma(7/2)} x^{5/2}.$$

Karena

$$\Gamma(4)=3!=6$$

dan

$$\Gamma\left(\frac72\right) = \frac52\frac32\frac12\sqrt{\pi} = \frac{15\sqrt{\pi}}8,$$

maka

$$D^{1/2}x^3 = \frac{6}{15\sqrt{\pi}/8}x^{5/2}.$$

Jadi:

$$\boxed{ D^{1/2}x^3 = \frac{16}{5\sqrt{\pi}}x^{5/2} }$$

---

10. Contoh Soal 5 — Fungsi Polinom

Tentukan:

$$D^{1/2} (3x^2+2x+5).$$

Gunakan sifat linear:

$$D^{1/2}(af+bg) = aD^{1/2}f+bD^{1/2}g.$$

Maka:

$$D^{1/2}(3x^2+2x+5)$$ $$= 3D^{1/2}x^2 + 2D^{1/2}x + 5D^{1/2}(1).$$

Substitusi:

$$= 3\left( \frac{8}{3\sqrt{\pi}}x^{3/2} \right) + 2\left( \frac{2}{\sqrt{\pi}}x^{1/2} \right) + 5\left( \frac{1}{\sqrt{\pi}}x^{-1/2} \right).$$

Sehingga:

$$\boxed{ D^{1/2}(3x^2+2x+5) = \frac{8}{\sqrt{\pi}}x^{3/2} + \frac{4}{\sqrt{\pi}}x^{1/2} + \frac{5}{\sqrt{\pi x}} }$$

---

11. Mengapa hasilnya berbeda dengan $\frac12f'(x)$?

Misalnya:

$$f(x)=x^2.$$

Turunan biasa:

$$f'(x)=2x.$$

Jika seseorang keliru menganggap turunan setengah sebagai setengah turunan:

$$\frac12f'(x)=x.$$

Padahal:

$$\boxed{ D^{1/2}x^2 = \frac{8}{3\sqrt{\pi}}x^{3/2} }$$

Jadi:

$$\boxed{ D^{1/2}f(x)\neq \frac12f'(x) }$$

---

12. Definisi Caputo

Selain Riemann–Liouville, terdapat definisi penting lainnya, yaitu turunan Caputo.

Secara umum:

$$\boxed{ {}^CD^\alpha_{a+}f(x) = \frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_a^x \frac{f^{(n)}(t)} {(x-t)^{\alpha-n+1}} \,dt }$$

Untuk

$$0<\alpha<1,$$

khususnya $\alpha=\frac12$:

$$\boxed{ {}^CD^{1/2}_{a+}f(x) = \frac1{\sqrt{\pi}} \int_a^x \frac{f'(t)} {\sqrt{x-t}} \,dt }$$

---

13. Riemann–Liouville vs Caputo

Aspek	Riemann–Liouville	Caputo
Pendekatan	Integral kemudian turunan	Turunan biasa kemudian integral
Konstanta	Umumnya tidak menghasilkan 0	Turunan konstanta = 0
Kondisi awal	Berbentuk fractional	Lebih dekat dengan kondisi awal klasik
Aplikasi	Analisis matematika	Banyak digunakan dalam model fisika/teknik

Untuk pembelajaran awal, rumus fungsi pangkat biasanya merupakan cara paling mudah untuk memahami konsepnya.

---

14. Latihan

Coba tentukan:

Soal 1

$$D^{1/2}x^4$$

Soal 2

$$D^{1/2}\sqrt{x}$$

Soal 3

$$D^{1/2}(4x^3-2x+7)$$

Soal 4

$$D^{1/2}x^{-1}$$

Soal 5

Jika

$$f(x)=x^2,$$

tentukan:

$$D^{1/2}f(x)$$

kemudian bandingkan dengan

$$D\left(D^{1/2}f(x)\right).$$

---

🧠 Ringkasan

$$\boxed{ D^{1/2}f(x) \text{ adalah turunan berorde } \frac12 }$$

Untuk fungsi pangkat:

$$\boxed{ D^{1/2}x^\beta = \frac{\Gamma(\beta+1)} {\Gamma(\beta+\frac12)} x^{\beta-\frac12} }$$

Contoh paling penting:

$$\boxed{ D^{1/2}(1)=\frac1{\sqrt{\pi x}} }$$ $$\boxed{ D^{1/2}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{x} }$$ $$\boxed{ D^{1/2}(x^2) = \frac8{3\sqrt{\pi}}x^{3/2} }$$

dan konsep dasarnya:

$$\boxed{ D^{1/2}D^{1/2}f=Df }$$

dengan catatan: sifat komposisi tersebut bergantung pada definisi turunan pecahan dan syarat fungsi/kondisi batas yang digunakan.